そう思ってあれやこれやと調べていたんです。
モーショングラフィックテンプレートっていうのが、そのまんま直訳で、グラフィックが動くテンプレートなのだと思います。
ですので、文字（以下、テキスト）やアニメが動くようなテンプレートを指す大項目なんだと思います。
で、モーショングラフィックテンプレートっていう大項目で検索するとあれやこれやと出てくるので収集がつかず。
僕が欲しいと思っているのがテキストが動くものなので、それを指す単語はなんなのかなと深掘りしました。
僕が言うテキストが動くイントロなどで使用されるものは、一般的にタイトルテキスト、もしくはテキストエフェクトと呼ばれています。
タイトルテキストだと静止しているテキストも含みますので、動くタイトルテキストのことをテキストエフェクトと呼ぶようです。
で、さらにややこしいのですが、このテキストエフェクトのことを正式には、ローワーサード（Lawer Third）と呼ぶようです。
まじでややこしいです。
阿藤快と加藤あいくらいややこしいです。（©︎くりぃむしちゅー）
さておき、そのあたりのキーワードで「無料」というキーワードを足して検索すると結構な数のテンプレートが出てきますので、そちらを使ってみようと思います。